Миний зуны амралт

Энэ зуны амралт минь үр дүнтэй сайхан өнгөрлөө. 7-р сарын 8 хүртэл сургууль дээрээ эргэлдэн ойр зуурын ажлаа амжуулаад UB guesthouse-ийн Болороо эгч рүү ярьсны дагуу говь руу явах аялал санал болголоо. Энэ компаны шугамаар нийт 4 удаа 26 хоног аялжээ.
Хүмүүс тэр бүр очиж чаддаггүй Монголын байгалийн үзэсгэлэнт газруудаар мөнгө төлж биш авч аялаад их эрч хүч авч чадсандаа баяртай байна. Аялал бүрд дэлхийн өнцөг булан бүрээс ирсэн олон хүмүүстэй танилцаж, санал бодлоо солилцож, сэтгэлийн цэнгэл эдлэж чадлаа. Тэд Монгол орны байгаль, өвсний үнэр анхилсан амар амгалан диваажинг минь бишрэхүйд бахархах сэтгэлээр цадаж явлаа.
Испаний жуулчид Архангай аймгийн Батцэнгэл суманд байх компаны гэрээт гэр буудлуудын жорлонгийн өмнө цайх цагаан уул цэцгийг хараад "Альпийн нуруунд дархлагдсан цэцэг танай оронд жорлонгийн хажууд хүртэл зөндөө ургажээ. Шудрага биш байна " хэмээн шуугилдаж байсан.
Өөрийн эрхгүй "Ямар уудам юм бэ Монголын тал нутаг
Ямар уужуу юм бэ Монгол хүний сэтгэл" гэсэн мөрүүд аманд аялагддаг.
Орхоны хүрхрээ дээр очоод тэрхүү сүр хүчит шуугин унах их усыг өөр лүүгээ нэвтрэн орох эрч хүч энерги хэмээн төсөөлж зогсохуй дор байгаль хүмүүний хүйн холбоог мэдрэх мэт санагдсан.

Монголын их амар амгалан гэж нэгэнтээ уулга алдсан яруу найрагчийн мэдрэмж ямархан агуу юм бэ?

Намрын гуниг

Нутагт минь намар айлчлан ирж, айлууд намаржаандаа бууж, мал таргалан налайгаад сайхан байгаа даа. Намар цагт нутагтаа очиход морины дөрөө шүргэм ургасан дэрс түнгэний дунд аав минь хонио хариулж, ээж минь идээ цагаагаа хураасан сайхан байдаг сан. Тэрхэн үед ээжийгээ бурхны оронд яваад, тэр намрын налгар өдрүүд дурсамж дунд минь үлдэхийн чинээ санасангүй явжээ. Хүн хүний төлөө сэтгэлээ чилээн орсон гарсан хүүхэд хөгшингүй ид уу гэсээр чихэр жимс атгаж хүн бүрт тараах дуртай таныг минь охин чинь бүү хэл нутгийн минь налгар намрын өдрүүд үгүйлж байгаа даа. Таныгаа санаад байна.

Натурал тооны аксиоматик байгуулалт

Натурал тооны аксиоматик байгуулалт
Юуны өмнө онолын байгуулалтын аксиоматик аргын талаар авч үзэх нь зүйтэй болов уу?
Математикийн онолын аксиоматик байгуулал т хийнэ гэдэг нь
1. Тодорхойлолтгүй хэрэглэгдэх үндсэн ойлголт ухагдахуунууд
2. Үндсэн ухагдахуунууд болон өмнө нь тодорхойлогдсон ухагдахуунуудаар тодорхойлогдох тодорхойлолтууд
3. Батлах шаардлагагүй үнэн өгүүлбэрүүд болох аксиомууд
4. Аксиом, өмнө нь батлагдсан теоремуудыг ашиглан батлах боломжтой теоремуудыг
өгснөөр тухайн онолын бүхий л асуудлыг шийдэх боломж бүрдүүлэхийг хэлнэ. Та бүхэн дунд сургуулийн туршлагаасаа геометрийг хэрхэн аксиоматик аргаар байгуулж судалсан тухайгаа санаж байгаа байх.
Одоо натурал тооны аксиоматик байгуулалтаа хийе. Энэ байгуулалтын үед хоосон биш N олонлог дээр өгөгдсөн <<яг дараа нь орших>> гэсэн харьцаа гол үндэс нь болдог. Мөн олонлог, олонлогийн элемент, олонлогийн онолын ойлголтууд, логик дүрмүүдийг ашиглах юм. а элементийн <<яг дараа нь орших>> элементийг а гэж тэмдэглэе. <<Яг дараа нь орших>> гэсэн харьцааг дараах аксиомуудад авч үзье.
Аксиом1: N олонлогт аль ч элементийнхээ дараагийн элемент болж чадахгүй нэг элемент оршин байх ба түүнийг нэгж элемент гэж нэрлээд 1 тэмдэгээр тэмдэглэе.
Аксиом2: N олонлогийн а элемент бүрт түүний яг дараа нь орших а элемент цор ганц оршин байна.
Аксиом3: N олонлогийн а элемент бүрийн хувьд <<яг дараа нь а элемент орших>> нэгээс олонгүй элемент оршин байна.
Аксиом4: N олонлогийн ямар ч М дэд олонлогийн хувьд
1. 1М
2. аМ гэдгээс аМ гэсэн хоѐр чанар биелдэг бол
М дэд олонлог N олонлогтой давхацна.
Эдгээр аксиомуудыг Пеаногийн аксиомууд гэнэ. Дээрх аксиомууд болон <<яг дараа нь орших>> харьцааг ашиглан натурал тооны дараах тодорхойлолтыг өгч болно.
Тодорхойлолт: Дээр өгөгдсөн дөрвөн аксиомуудыг хангадаг, <<яг дараа нь орших>> харьцаанд оршдог элементүүдээс тогтох олонлогийг натурал тоон олонлог (N), түүний элементийг натурал тоо гэж тус тус нэрлэнэ.
Дээрх тодорхойлолтонд N олонлогийн элементүүдийн мөн чанарын тухай ердөө дурдаагүй. Аксиом1-4-ийг хангах, <<яг дараа нь орших>> гэсэн тодорхой харьцаа биелдэг N олонлог, түүн шиг зарим тодорхой олонлог сонгон авснаар бид аксиомуудын өгөгдсөн системийн загварыг гарган авч байгаа юм. Математикт бүх ийм загваруудын хооронд <<яг дараа нь орших>> харьцааг хадгалсан харилцан нэгэн утгатай харгалзааг тогтоож болох нь батлагдсан бөгөөд тэдгээр загварууд зөвхөн элементүүдийнхээ мөн чанар, нэр, тэмдэглэгээгээр ялгагддаг. Пеонагийн аксиомуудын системийн стандарт загвар нь түүхэн хөгжлийнхөө явцад 1,2,3,4,... гэсэн тоон цувааг үүсгэсэн байна. Уг цувааны элемент бүр нь өөрийн нэр, тэмдэглэгээтэй байдаг.
Натурал тоон цувааны хувьд аксиом1-4 ба <<яг дараа нь орших>> харьцааны чанар хэрхэн биелж буйг авч үзье. Натурал тоон цуваа 1-ээс эхэлдэг(аксиом1), натурал тоо бүрийн яг дараа нь цор ганц натурал тоо оршин байна(аксиом2), натурал тоо бүр нэгээс ихгүй натурал тооны яг дараа нь орших тоо болно(аксиом3), 1-ээс эхлээд нэг натурал тооны яг дараа нь орших нөгөө натурал тоог үүсгэх замаар энэ олонлогийн бүх элементийг гарган авч болно(аксиом4). Аксиоматик онолд судалж буй зүйлийн үнэнхүү мөн чанарыг авч үздэггүй, анхнаасаа ялимгүй хийсвэр, мөн янз бүрийн юмсын олонлогууд, тэдний хоорондох янз бүрийн харьцаануудын адил хэлбэрийн төдий байдаг. Гэвч энэ хийсвэр шинжтэй аксиоматик арга нь дурын юмсын олонлогууд, тэдэн дээр тодорхойлогдсон харьцаанууд, түүнийг хангах аксиомуудаас логик замаар баталгаа бүр нь гарч байгуулагддаг учиртай.
Ингээд бид натурал тооны аксиоматик байгуулалтыг <<яг дараа нь орших>> гэсэн үндсэн харьцаа, аксиомууд, түүнд багтсан чанаруудаар байгууллаа.
Цаашид онолын аксиоматик байгуулалтаар натурал тооны чанарууд, түүн дээр хийгдэх үйлдлүүдийг авч үзэх болно. Тэдгээр нь тодорхойлолт ба теоремуудад биеллээ олох юм. Ө.х <<яг дараа нь орших>> харьцаа, түүнээс урган гарсан аксиом1-4-өөс логик замаар гаргадаг.
Натурал тооны тодорхойлолтын дараа бидний тодорхойлох анхны ойлголт бол натурал тооны чанаруудыг авч үзэхэд байнга ашиглагддаг <<өмнөх>>, <<яг өмнө нь орших>> гэсэн ойлголт юм.
Тодорхойлолт: Хэрвээ b натурал тоо а натурал тооны яг дараа оршиж байвал а тоог b натурал тооны өмнөх тоо гэнэ.
<<Өмнөх>> гэсэн харьцаа нь аксиом1-4-ийн тусламжтайгаар батлагдах теорем хэлбэрээр томъѐологдсон дараах чанаруудтай.
Теорем 1. Нэгжид өмнөх тоо байхгүй.
Баталгаа. Баталгаа нь шууд аксиом1-ээс урган гарна.
Теорем 2. 1-ээс ялгаатай а натурал тоо бүр өмнөө b гэсэн натурал тоотой байна. (b=a)
Баталгаа.
1 ба өмнөө тоотой бүх тоонуудаас тогтсон натурал тоон олонлогийг М гэж тэмдэглэе. Хэрэв аМ байвал аМ. Учир нь а нь а-гийн өмнөх тоо тул ийнхүү агуулагдана. Ө.х 1М, аМ гэдгээс аМ байна. Эндээс аксиом4 ѐсоор М олонлог бүх натурал тоон олонлогтой давхцах бөгөөд 1-ээс бусад бүх натурал тоо өмнөх тоотой байна. Аксиом3 ѐсоор 1-ээр ялгаатай натурал тоо бүр цор ганц өмнөх тоотой байна.
Ер нь бага боловсролын математикийн агуулгын хүрээнд натурал тооны аксиоматик байгуулалтыг судалдаггүй. Гэхдээ Пеаногийн аксиомуудын <<яг дараа нь орших>> харьцааны чанарууд нь бага боловсролын математикийн судлагдахуун болдог. Жишээлбэл нэгдүгээр ангид арав хүртэл тоог таниулахдаа багш энэхүү аксиоматик байгуулалт, дараагийн тоо, өмнөх тоо гэсэн ойлголтуудыг заах арга зүйн үндэс болгодог.
Нэмэх үйлдэл
Онолын аксиоматик байгуулалт ѐсоор натурал тооны нийлбэрийн тодорхойлолт зөвхөн <<яг дараа нь орших>> харьцаа, натурал тоо, өмнөх тоо гэсэн ойлголтуудын тусламжтайгаар тодорхойлогддог.
Нийлбэрийн тодорхойлолтын өмнө дараах тайлбарыг хийе. Дурын натурал тоо а дээр 1 нэмэхэд яг дараагийн тоо нь гарна. Ө.х: а+1=a. Ингэж дурын натурал тоон дээр 1-ийг нэмэх дүрмийг гаргалаа. Одоо 1-ээс өөр тоо хэрхэн нэмэх вэ гэсэн асуудал гарч байна. Хэрэв 2+3=5 гэж бидэнд мэдэгдэж байвал 2+4 нийлбэр 5-ын дараагийн тоо 6 байна гэсэн санааг бид ашиглах юм. Учир нь 4 нь 3-ын дараагийн тоо. Ийм замаар хэрвээ а+b нийлбэр мэдэгдэж байвал a+b нийлбэрийг олж болно. Энэхүү санаа л натурал тооны нийлбэрийн тодорхойлолтын гол үндэс нь юм. Үүнээс гадна натурал тооны нэмэх үйлдлийг алгебрийн үйлдэл ашиглан тодорхойлдог.
Тодорхойлолт: Натурал тоонуудын нийлбэр гэж дараах чанаруудыг хангах алгебрийн үйлдлийг хэлнэ.
1) ( a N) a+1=a
2) ( a,b N) a+b=(a+b).
a+b тоог а ба b тооны нийлбэр, а ба b тоонуудыг нэмэгдэхүүнүүд гэнэ.
Теорем 3. Натурал тоонуудын нийлбэр цор ганц оршин байна.
Баталгаа. Баталгаа нь хоѐр хэсгээс тогтоно.
1) Натурал тоонуудын нийлбэр оршин байна.
2) Натурал тоонуудын нийлбэр цор ганц байна
Эхлээд II дахийг нь батлая. Ер нь цор ганц оршин байна гэдгийг батлахад ихэвчлэн эсрэгээс нь батлах аргыг хэрэглэдэг. N олонлогт дээрх 1 ба 2 чанаруудыг хангадаг хоѐр нийлбэр оршдог гэж үзье. Нэгийг нь + тэмдгээр, нөгөөг нь тэмдгээр тэмдэглэе. Тэгэхэд
1) a+1=a
2) a+b=(a+b)
1) a1=a
2) ab=(ab)
болох ба (a,bN) a+b=ab (1) гэж батлая. a тоог дураар сонгон авахад b тоо өөр натурал тоон утгыг илэрхийлдэг. М-ээр (1) тэнцэтгэлийг хангадаг бүх b тооноос тогтох олонлогийг тэмдэглэе.
1М болохыг харахад төвөгтэй биш ээ. Мөн a+1=a=a1=> a+1=a1.
Нэмэх үйлдлийн тодорхойлолт ба теорем 3 нь хэн бүхний сайн мэдэх нэг оронтой тооны нэмэх үйлдлийн хүрдийг гаргах боломж олгодог. 1=2, 2=3 3=4, 4=5 гэх мэт тэмдэглэгээг хэрэглэн дурын нэг оронтой натурал тоон дээр 1-ийг нэмэх замаар хүрдийг бүтээж болно. Нэмэх үйлдлийн тодорхойлолтын I чанар дээр тулгуурлан 1+1=1 болно. Бид 1-ийн<<яг дараагийн >> тоог 2 гэж тэмдэглэхээр тохиролцсон. Тэгвэл 1+1=2 болно. Аналогиор 2+1=2=3; 3+1=3=4 гэх мэт. Одоо натурал тоон дээр 2-ыг нэмэх тохиолдлыг авч үзье. 1+2=1+1. Нэмэх үйлдлийн тодорхойлолтын II чанар ѐсоор 1+1=(1+1)=2=3. Аналогиор 2+2=2+1=(2+1)=3=4; 3+2=3+1=(3+1)=4=5 гэх мэт үргэлжлүүлэхэд нэг оронтой натурал тооны нэмэхийн хүрдийг гарган авах юм.
Натурал тооны аксиоматик байгуулалтын дараагийн алхам нь нэмэх үйлдлийн чанаруудын баталгааг хийх явдал юм. Юун түрүүн бүлэглэх, байр сэлгэх чанаруудыг авч үзье.
Теорем 4. (a,b,cN) тоонуудын хувьд (a+b)+c=a+(b+c) байна.
Баталгаа. a,b,с нь дурын натурал тоо байг. М-ээр (a+b)+c=a+(b+c) байх бүх с тоонуудын олонлогийг тэмдэглэе. 1М болохыг эхлээд батлая. Ө.х (a+b)+1=а+(b+1) болохыг батлая гэсэн үг. Нэмэх үйлдлийн тодорхойлолт ѐсоор (a+b)+1=(a+b)=a+b=a+(b+1). Одоо хэрэв сМ бол сМ буюу (a+b)+c=a+(b+c) тэнцлээс (a+b)+c=a+(b+c) мөрдөн гарна гэж батлая. Мөн нэмэхийн тодорхойлолтоос (a+b)+c=((a+b)+c)=(a+(b+c))= a+(b+c)=a+(b+c); Ийнхүү бид 1М, сМ=>сМ гэж харууллаа. Аксиом 4 ѐсоор М=N. Ө.х (a+b)+c=a+(b+c) нь сN хувьд үнэн байна.
Теорем 5. (a,bN) тоонуудын хувьд a+b=b+а байна.
Баталгаа. Баталгаа хоѐр хэсгээс тогтоно.
1) (aN) тооны хувьд a+1=1+а. М олонлог a+1=1+а
тэнцэл биелэх бүх а тоонуудаас тогтсон олонлог байг. 1+1=1+1=> 1M байх нь тодорхой. Одоо аМ=> аМ гэж батлая. a+1=1+a => a+1=1+a. Үнэндээ нэмэхийн I ѐсоор а+1=(a+1)+1. Энд өмнөх хэсэгт баталсанаа ашиглавал (a+1)+1=(1+a)+1. Теорем 4 ѐсоор
(1+a)+1=1+(a+1) байна. Мөн нэмэхийн тодорхойлолтын чанар ѐсоор 1+(a+1)=1+a байна. Ийнхүү бид М олонлог 1, а, а-ийг бүгдийг агуулсан болохыг харууллаа. Аксиом 4 ѐсоор М=N буюу а+1=1+a нь аN хувьд үнэн байна.
2) Одоо (a,bN) тоонуудын хувьд a+b=b+а гэж батлая.
Хэрэв аN сонгон авахад b нь а-гаас ялгаатай натурал утгууд авдаг гэе. a+b=b+а тэнцлийг хангах b натурал тоонуудаас тогтох олонлогийг М гэж тэмдэглэе. b= 1 байх үед дээрх тэнцэл бталагдсан. Одоо bM=> bM гэж батлая. Ө.х a+b=b+a => a+b=b+a болохыг батлая. Нэмэхийн тодорхойлолтоос а+b=(a+b). a+b=b+a => (a+b)=(b+a). Мөн (b+a)=b+a=b+(a+1). a+1=1+a=> b+(a+1)=b+(1+a). Бүлэглэх чанар ба нэмэхийн тодорхойлолт хэрэглэн b+(1+a)=(b+1)+a=b+a гарган авлаа. Ингээд 1М ба b ба b нь хоѐул М олонлогт агуулагдана гэж батлагдлаа. Аксиом 4 ѐсоор M=N байна. a+b=b+a нь дурын а,b тоонуудын хувьд үнэн байна.
Теорем 6. (a,bN) тоонуудын хувьд a+bb байна.
Баталгаа. аN тоо авах бүрд b нь ялгаатай натурал утгууд авдаг байг. Теоремын нөхцлийг хангах b натурал тоонуудын олонлогийг М гэе. 1M гэж батлая. Нэмэхийн тодорхойлолт ѐсоор а+1=a байна. Аксиом 1 ѐсоор 1 бол ямар ч натурал тооны дараагийн тоо биш. Эндээс а+11. Одоо bM=>bM ; a+bb; => a+bb гэж батлая. Ө.х нэмэхийн тодоорхойлолт ѐсоор a+b=(a+b) байна. a+bb=> (a+b)=b ба a+bb. Аксиом 4 ѐсоор М=N байх ба а,bN хувьд а+bb байна.
Үржүүлэх үйлдэл
Онолын аксиоматик байгуулалтын дүрмээр натурал тооны үржүүлэх үйлдлийг <<яг дараагийнх нь>> харьцаа ба өмнө авч үзсэн ойлголтуудаа ашиглан тодорхойлж болно. Үржүүлэх үйлдлийг тодорхойлохын өмнө дараах тайлбарыг хийе. Хэрэв aN тооны хувьд a1=a байна. Энэ нь натурал тоог 1-ээр үржүүлэх дүрэм юм. Харин а тоог 1-ээс ялгаатай b натурал тоогоор хэрхэн үржүүлэх вэ? гэсэн асуудал гарч байна. Дараах өгүүлбэрийг ашиглая. Хэрэв 75 =35 гэж мэдэгдэж байвал 76+7=35. 76=7(5+1)=75+7; Ер нь аb үржвэрийг аb үржвэр мэдэгдэж байвал олж болно. Дээр онцолсон
өгүүлбэрэдэгдэж байвал үржүүлэх үйлдлийн тодорхойлолтын үндэс болж өгнө. Мөн түүнд алгебрийн үйлдлийн тухай ойлголт ашиглагдах юм.
Тодорхойлолт: Натурал тоонуудын үржүүлэх үйлдэл гэдэг нь дараах чанаруудыг хангах алгебрийн үйлдлийг хэлнэ.
1) (aN) тооны хувьд a1=a
2) (a,bN) тооны хувьд а b=ab+a
ab –г үржвэр, a ба b тоо тус бүрийг үржигдэхүүн гэж нэрлэдэг.
Теорем 7. Натурал тоонуудын үржвэр оршин байх бөгөөд тэр нь цор ганц байна.
Баталгаа. Энэ теоремын баталгаа теорем 3-ын баталгаатай адилхан хийгддэг.
Үржүүлэхийн тодорхойлолт, теорем 7, нэмэхийн хүрдийг ашиглаад нэг оронтой тоонуудын үржүүлэхийн хүрдийг зохиож болно. Үржүүлэхийн хүрдийн I чанар ѐсоор 11=1; 21=2; 31=3 гэх мэт. Одоо натурал тоог2-оор үржүүлэх тохиолдлыг авч үзье.
12=11=11+1=1+1=2
22=21=21+2=2+2=4
32=31+3=3+3=6 гэх мэт цааш үргэлжлүүлж нэг оронтой натурал тоонуудын үржүүлэхийн хүрдийг гарган авч болно.
Натурал тоонуудын үржүүлэх үйлдлийн хувьд байр сэлгэх, бүлэглэх, гишүүнчлэн үржүүлэх чанар биелнэ. Онолын аксиомаик байгуулалтын үед эдгээр чанаруудыг батлах хэрэгтэй. Гишүүнчлэн үржүүлэх чанараас эхлэн батлая.
Теорем 8. (a,b,cN) тоонуудын хувьд (a+b)c=aс+bc байна.
Баталгаа. a,bN тоонууд сонгон авах бүрд с нь члгаатай натурал утга авдаг байг. (a+b)c=aс+bc байх с тоонуудын олонлогийг М гэж тэмдэглэе. Эхлээд 1М буюу (a+b)1=a1+b1 болохыг батлая. Үржүүлэх үйлдлийн I чанарыг ашиглан (a+b)1=а+b=a1+b1 болохыг олж харж болно. Одоо хэрэв сМ=>cM буюу (a+b)c=aс+bc=> (a+b)c=aс+bc болохыг батлая. Үржүүлэхийн тодорхойлолт ѐсоор (a+b)c=(a+b)c+(a+b)=ac+bc+(a+b)=( ac+bc+a)+b= (ac+a+bc)+b= (ac+a)+(bc+b)=aс+bc. Бид 1М ба сМ=>cM гэдгийг харуулсан тул аксиом 4 ѐсоор М=N байна.
Теорем 9. (a,b,cN) тоонуудын хувьд а(b+c)=aс+bc байна.
Баталгаа. Энэ чанар үржүүлэх үйлдлийн зүүн гишүүнчлэн үржүүлэх чанар юм. Баталгаа нь баруун гишүүнчлэн үржүүлэх чанарыг баталсантай адил.
Теорем 10. (a,b,cN) тоонуудын хувьд (аb)c=a(bc) байна.
Баталгаа. Энэ нь үржүүлэхийн бүлэглэх чанар юм. Баталгаа нь теорем 4-9 дээр тулгуурлан хийгдэнэ.
Теорем 11. (a,b,cN) тоонуудын хувьд аb=ab байна.
Баталгаа. Нэмэх үйлдлийн байр сэлгэх чанартай адил аргаар батлаж болно.
Аксиоматик онолд авч үзсэн үржүүлэх үйлдэл нь бага боловсролын математикийн үржүүлэх үйлдлийн үндэс болдог. Натурал тоог 1-ээр үржүүлэх ба II чанарт тодорхойлсон дүрэм нь нэг оронтой тооны үржүүлэхийн хүрд зохиох, тооцоолол хийх үед хэрэглэгддэг. Мөн үржүүлэх үйлдлийн байр сэлгэх, бүлэглэх, гишүүнчлэн үржүүлэх чанарууд мөн судлагддаг.
Натурал тоон олонлогийн эрэмбэлэгдэх чанар
Натурал тоон олонлогийг ‹‹бага›› гэсэн харьцааны тусламжтайгаар эрэмбэлж болно. Гэвч онолын аксиоматик байгуулалтын дүрэм ѐсоор энэхүү харьцааг зөвхөн өмнөх ойлголт ухагдахуунуудыг ашиглан тодорхойлоод зогсохгүй цаашдын онолын ойлголт ухагдахуунуудын үндэс суурь болохыг шаарддаг. ‹‹Бага››харьцааг нэмэх үйлдлээр тодорхойлъѐ.
Тодорхойлолт: Тодорхойлолт: a+c=b байх с натурал тоо атурал тоо оршин байвал а
тоог b тооноос ‹‹бага›› байна гэдэг.
Энэ үед b нь а тооноос их гэж бас хэлж болно.
Теорем 12. (a,bN) тоонуудын хувьд а=b, а>b , аb эсвэл a<с байна.
Баталгаа. Энэ теорем нь ‹‹бага›› харьцааны дамжих чанарыг илэрхийлнэ. а<а нь худал байна.
Баталгаа. Энэ теорем нь ‹‹бага›› харьцааны антисимметр чанарыг илэрхийлнэ. Баталгааг эсрэгээс нь хийе. Ө.х а<а гэж үзвэл теорем 12-д харшилна.
Ийнхүү ‹‹бага›› харьцаа нь антисимметр, дамжих, ???? учир шугаман эрэмбийн харьцаа үүсгэж байгаа ба натурал тоон олонлог нь шугаман эрэмбэлэгдсэн олонлог юм.
Теорем 15. Нэгж нь бүх натурал тооноос бага байна. Ө.х (aN) тооны 1 a+c=b+c ба ac=bc
2) a a+cb=> a+c>b+c ба ac>bc
Баталгаа.
1) Нэмэх ба үржүүлэхийн цор ганц байх чанараас мөрдөн гарна.
2) Хэрэв a b+c=(a+c)+k=> b+c ac а=b
2) a+c ab+c буюу ac>bc =>a>b
Баталгаа.
ac a a=b байх боломжгүй. (теорем 16). а>b байх ч боломжгүй. Учир нь aca байх n натурал тоо оршин байна.
Баталгаа.
Дурын а тооны хувьд n>а байх тоо олдоно. n=a+1 авахад хангалттай. n>a ба b1 тэнцэтгэл бишүүдийг гишүүнчлэн үржүүлбэл nb>a тэнцэтгэл гарна.
Бидний авч үзсэн ‹‹бага›› харьцаанаас баталгаагүй хэрэглэх натурал тооны зарим онцлог чухал чанарууд урган гарна.
1. А натурал тооны хувьд а<100 тул хамгийн их тоо нь 99, хамгийн бага тоо нь 10 байна. Энэ мэтээр ‹‹бага›› харьцаа нь натурал тоон олонлогийн нилээд хэдэн чанаруудыг авч үзэх боломж олгодог. Мөн тэрээр натурал тоон олонлог шугаман эрэмбэлэгдэх, дискрет чанар, хамгийн бага тоо нь 1 гэсэн чанаруудыг тодорхойлж байна.
Бага ангийн суралцагчид натурал тооны ‹‹бага›› (‹‹их››) харьцаанаас эхлээд харьцааны ойлголттой танилцаж эхэлдэг. Мөн олонлогийн онолд аксиоматик аргын хүрээнд өгөгдсөн тодорхойлолт
ашиглагддаг. Жишээ нь 9>7 гэдгийг тайлбарлахад 9 нь 7+2 тул 9>7 байна хэмээн тайлбарладаг. Шууд биш замаар нэмэх ба үржүүлэхийн монотон чанарыг ашигладаг. Жишээ нь 2<3учир 6+2<6+3 байна гэж тайлбарладаг.
Хасах үйлдэл
Натурал тооны аксиоматик байгуулалтын үед хасах үйлдэл нь нэмэх үйлдлийн урвуу үйлдэл гэж тодорхойлогддог.
Тодорхойлолт: Хэрвээ а ба b натурал тонуудын хасах үйлдэл гэж b+c=a нөхцлийг хангадаг ба а-b=c байх нөхцлийг хангах үйлдлийг хэлнэ.
а-b тоог ялгавар, а-хасагдагч, b-хасагч гэж нэрлэдэг.
Теорем 19. а-b ялгавар зөвхөн а>b үед оршин байна.
Баталгаа. a-b ялгавар оршин байдаг байг. Тэгвэл хасах үйлдлийн тодорхойлолт ѐсоор b+c=a байх с натурал тоо олдоно гэдгээс b<<бага>> харьцааны тодорхойлолт ѐсоор a<а гэдэг нь худлаа.
Баталгаа. Энэ чанар нь <<бага>> харьцааны антисимметр чанарыг илэрхийлнэ. Баталгааг эсрэгээс нь хийе. Ө.х a<<бага>> харьцааны тодорхойлолт ѐсоор a+c=a байх с натурал тоо олдох
учиртай. Энэ нь теорем 6-д харшилж байгаа тул a<а гэж үзвэл теорем 12-д харшилна.
Ийнхүү <<бага>> гэсэн харьцаа нь антисимметр, дамжих, хамаарлын чанарууд биелдэг учир шугаман эрэмбийн харьцаа үүсгэж байгаа ба натурал тоон олонлог нь шугаман эрэмбэлэгдсэн олонлог юм.
Теорем 15. Нэгж нь өөрөөсөө бусад бүх натурал тооноос бага байна.
Баталгаа. аN байг. Энд a=1 ба a1 гэсэн хоѐр тохиолдол авч үзэж болно. Хэрэв a1 бол а-гийн яг өмнөх b тоо оршин байна. a=b=b+1=1+b. Ө.х <<бага>> харьцааны тодорхойлолт ѐсоор 1<а байна. Дурын натурал тоо эсвэл 1, эсвэл 1-ээс их тоо байна. Нэгж ийнхүү хамгийн бага натурал тоо юм. <<Бага>> харьцаа нь нэмэх үржүүлэх үйлдэлтэй монотон чанараар холбогддог.
Теорем 16.
1) a=b=> a+c=b+c ба ac=bc
2) a a+cb=> a+c>b+c ба ac>bc
Баталгаа.
1) Нэмэх ба үржүүлэхийн цор ганц байх чанараас мөрдөн гарна.
2) Хэрэв a b+c=(a+c)+k тул b+c ac a=b
2) a+c ab+c буюу ac>bc =>a>b
Баталгаа. ac a a=b байх боломжгүй. (теорем 16). a>b байх ч боломжгүй. Учир нь aca байх n натурал тоо оршин байна.
Баталгаа. a натурал тооны хувьд n>a тоо олдоно. n=a+1 гэж авахад хангалттай. n>a ба b1 тэнцэтгэл бишүүдийг гишүүнчлэн үржүүлбэл nb>a тэнцэтгэл биш гарна.
Бидний авч үзсэн <<бага>> гэсэн харьцаанаас баталгаагүй хэрэглэгдэх зарим онцлог чухал натурал тооны чанарууд урган гарна.
I. а натурал тооны хувьд a<100 тул хамгийн их тоо нь 99, хамгийн бага тоо нь 10 байна. Энэ мэтээр <<бага>> харьцаа нь натурал тоон олонлогийн нилээд хэдэн чанаруудыг авч үзэх боломж олгож байна. Мөн тэрээр натурал тоон олонлог шунаман эрэмбэлэгдэх, дискрет, хамгийн бага натурал тоо 1 гэсэн чанаруудыг тодорхойлдог.
Бага ангийн суралцагчид харьцааг <<бага>>(<<их>>) харьцаанаас эхэлж судалдаг. Мөн олонлогийн онолд аксиоматик аргын хүрээнд өгөгдсөн тодорхойлолт ашигладаг. Жишээ нь 9>7гэж тайлбарлахад 9 нь 7+2 тул 9>7 байна гэж тайлбарладаг. Шууд биш замаар нэмэх ба үржүүлэхийн монотон чанарыг ашигладаг. Жишээ нь 2<3 учир 6+2<6+3 гэж тайлбарладаг.
Хасах үйлдэл
Натурал тооны аксиоматик байгуулалтын үед хасах үйлдэл нь ердөө нэмэх үйлдлийн урвуу үйлдэл гэж тодорхойлогддог.
Тодорхойлолт: a ба b тооны хасах үйлдэл гэж b+c=a байх үед a-b=c байх нөхцлийг хангах үйлдлийг хэлнэ.
a-b тоог ялгавар, а-хасагдагч, b-хасагч гэж тус тус нэрлэдэг.
Теорем 19. а-b ялгавар зөвхөн а>b үед оршин байна.
Баталгаа. а-b ялгавар оршин байдаг байг. Тэгвэл хасах үйлдлийн тодорхойлолт ѐсоор b+c=a байх с натурал тоо олдоно гэдгээс b<<бага>> харьцааны тодорхойлолтоос санаж байгаа байх.
Теорем 20. а-b ялгавар оршин байдаг бол тэр нь цор ганц байна.
Баталгаа. Эсрэгээс нь а ба b тооны ялгавар гэж хоѐр ялгаатай натурал тоо олддог гэе. Ө.х a-b=c1 ба a-b=c2 (c1 c2) байг. Эндээс a=b+ c1 ба a=b+c2 гэдгээс b+ c1 =b+c2 гэж мөрдөн гарна. Теорем 17 ѐсоор c1 = c2 болж c1 c2 байх боломжгүйг харуулж байна. Натурал тооны ялгаврын тодорхойлолтоос түүний оршин байх нөхцөлийг ашиглан нийлбэрээс тоо хасах, тооноос нийлбэр хасах дүрмийг гарган авч ашиглаж болно.
Теорем 21. а,b,с тоонууд натурал тоонууд байг.
a) Хэрэв a>c бол (a+b)-c=(a-c)+b
b) Хэрэв b>c бол (a+b)-c=a+(b-c)
c) Хэрэв a>c ба b>c бол дээрх хоѐр дүрмийн алийг нь ч ашиглаж болно.
Баталгаа.
a) a>c болохоор a-c оршино. Түүнийг х-ээр тэмдэглэе. Тэгвэл a=c+x болно. Хэрэв (a+b)-c=y бол ялгаврын тодорхойлолт ѐсоор a+b=c+y байна. Энэ тэнцэлд a=c+x орлуулга хийхэд (c+x)+b=c+y болно. Нэмэхийн бүлэглэх чанарыг ашиглавал c+(x+b)=c+y болно. Нэмэхийн монотон чанар ѐсоор x+b=y болно. Энд x=a-c орлуулга хэрэглэвэл (a-c)+b=y болно. Ингээд бид хэрэв a>c бол (a+b)-c=(a-c)+b гэж баталлаа.
b) Энэ тохиолдлыг мөн дээрхийн адил батлаж болно.
Энэхүү теоремыг ашиглан нийлбэрээс тоо хасах дүрмийг дараах байдлаар томъѐолж болно.
Нийлбэрээс тоо хасахын тулд аль нэг нэмэгдэхүүнээс нь уг тоог хасаад, гарсан үр дүн дээр нь нөгөө нэмэгдэхүүнийг нэмнэ.
Теорем 22. а,b,с тоонууд натурал тоонууд байг.
Хэрэв a>b+c бол a-(b+c)=(a-b)-c эсвэл a-(b+c)=(a-c)-b байна.
Баталгаа. Теорем 21-ийн баталгаатай адил хийгдэнэ.
Эндээс тооноос нийлбэр хасах дүрмийг дараах байдлаар томъѐолж болно.
Тооноос нийлбэр хасахын тулд уг тооноосоо нэмэгдэхүүнүүдээ дараалуулан хасна.
Бага боловсролын математикийн агуулгад хасах үйлдлийг нэмэх үйлдлийн урвуу үйлдэл хэмээн тодорхойлдог боловч ерөнхийд нь тодорхойлдоггүй. Суралцагчид хасах үйлдлйиг нэмэх үйлдэлтэй холбоотой бөгөөд тооцоололд харилцан хамааралтай оролцдог болохыг ямагт санаж байх хэрэгтэй. Жишээ нь 40-16 ялгавар 24 гарна. 24+16=40 бас 40-16=24 байна. Дээрх томъѐолсон тооноос нийлбэр хасах, нийлбэрээс тоо хасах дүрэм нь бага боловсролын математикийн хичээлд тооцоо хийх олон аргуудын онолын үндэс болдог. Жишээ нь (40+16)-10 илэрхийллийг бодохдоо хаалт доторх нийлбэрийг олоод дараа нь 10-г хасахаас гадна дараах хувилбаруудаар хийж болно.
a) (40+16)-10=(40-10)+16=30+16
b) (40+16)-10=40+(16-10)=40+6=46 гэх мэт.
Хуваах үйлдэл
Натурал тооны онолын аксиоматик байгуулалтын үед хуваах үйлдлийг үржүүлэх үйлдлийн урвуу үйлдэл гэж тодорхойлдог.
Тодорхойлолт: a ба b тооны хуваах үйлдэл гэж bc=a байх үед a:b=c байх нөхцлийг хангах үйлдлийг хэлнэ.
a:b тоог ногдвор, a тоог хуваагдагч, b тоог хуваагч гэнэ. Натурал тоон олонлог дээрх хуваагдал нь дандаа оршин байдаггүй. Ногдвор оршин байхын шинжүүр нь ялгаврынх шиг тодорхой байдаггүй. Зөвхөн ногдвор оршин байх зайлшгүй нөхцөл байдаг.
Теорем 23. а ба b натурал тоонуудын ногдвор оршин байх зайлшгүй нөхцөл нь ba байх явдал.
Баталгаа. а ба b натурал тоонуудын ногдвор оршин байдаг гэе. Ө.х bc=a байх с натурал тоо олддог гэе. Дурын натурал тооны хувьд нэгж нь ямагт 1с байна. Энэ тэнцэтгэл бишийн хоѐр талыг b натурал тоогоор үржүүлэхэд bbc болно. Мөн bc=a учир bа байна.
Теорем 24. а ба b натурал тоонуудын ногдвор оршин байвал тэр нь цор ганц байна.
Баталгаа. Натурал тоонуудын ялгавар цор ганц орших тухай теоремын баталгаатай адил.
Натурал тоонуудын ногдворын тодорхойлолт ба оршин байх нөхцөлөөс нийлбэр (ялгавар, үржвэр) тоонд хуваагдах дүрмийг гарган авч болно.
Теорем 25. Хэрэв а ба b натурал тоонууд с тоонд хуваагддаг бол a+b нь c-д хуваагдана. Ө.х a+b-г с-д хуваахад гарсан ногдвор гэдэг нь а:с ногдвор, b:c ногдворуудын нийлбэр юм. (a+b):c=a:c+b:c.
Баталгаа. a нь с-д хуваагдана гэдгээс x=a:c байх натурал тоо олдох тул a=cx байна. Аналогиор y=b:c гэдгээс b=cy. Эдгээрийг ашиглавал a+b=cx+cy=c(x+y). Энэ нь a+b нь с-д хуваагдахыг харуулж байна.
Энэхүү баталсан теоремоо ашиглан нийлбэрийг тоонд хуваах дүрмийг дараах байдлаар томъѐолж болно.
Нийлбэрийг тоонд хуваагдахын тулд нэмэгдэхүүн тус бүрийн уг тоонд хуваагаад нэмэхэд хангалттай.
Теорем 26. Хэрэв а ба b натурал тоонууд с-д хуваагддаг ба a>b бол a-b нь с-д хуваагдана. Ө.х a:c-b:c ялгаврыг (a-b):c ногдвор гэж үзэж болно.
Баталгаа. Өмнөх теоремын баталгаатай адил.
Энэ теоремыг ашиглан ялгаврыг тоонд хуваах дүрмийг дараах байдлаар томъѐолж болно.
Ялгаврыг тоонд хуваагдахын тулд хасагдагч ба хасагч хоёрыг уг тоонд хуваагаад гарсан ногдворуудын ялгаврыг авахад хангалттай.
Теорем 27. Хэрэв а натурал тоо нь с-д хуваагддаг бол b дурын натурал тоо байхад ab үржвэр нь с-д хуваагдана. Ө.х ab:c гэдэг нь a:c ногдвор ба b тооны үржвэрийг хэлнэ. (ab):c=(a:c)b
Баталгаа. a тоо нь с-д хуваагдана гэдгээс a:c=x байх х тоо оршин байх бөгөөд a=cx байна. Энэ тэнцлийн хоѐр талыг b-ээр үржүүлэхэд ab=(cx)b болно. Үржүүлэхийн бүлэглэх чанарыг ашиглавал (cx)b=c(xb) болно. Эндээс (ab):c=xb=(a:c)b.
Энэ теоремыг ашиглаад үржвэрийг тоонд хуваах дүрмийг дараах байдлаар томъѐолж болно.
Үржвэрийг тоонд хуваахын тулд аль нэг үржигдэхүүнийг уг тоонд хуваагаад гарсан ногдворыг нөгөө үржигдэхүүнээр үржүүлэхэд хангалттай.
Бага боловсролын математикд хуваах үйлдлийг үржүүлэх үйлдлийн урвуу үйлдэл хэмээн тодорхойлдог. Ерөнхийд нь өгдөггүй боловч хуваах үйлдлийг анхлан таниулахдаа заавал ашигладаг. Суралцагчид хуваах үйлдэл үржүүлэхтэй холбоотой, тооцоо хийх үед харилцан хамааралтай байдаг гэдгийг сайтар ойлгох хэрэгтэй. Жишээ нь 48-ийг 16-д хуваана гэдэг нь 16-г үржүүлэхэд 48 гардаг тоог олно гэсэн үг. 163=48 учир олох тоо нь 3 байна гэсэн үг. Эндээс 48:16=3 гэж олдоно.
Сөрөг биш бүхэл тоонуудын олонлог
Натурал тоон олонлогтой тэг хэмээн нэрлэж 0 гэж
тэмдэглэдэг нэгэн элементийг нэгтгэвэл сөрөг биш бүхэл тоон олонлог үүсэх ба Z0 гэж тэмдэглэдэг. Z0=N{0}. 0 нь дурын натурал тооноос бага байх ба арифметик үйлдлүүдийг дараах байдлаар хийдэг. (aN) тооны хувьд a+0=0+a=a (aN) тооны хувьд a0=0a=0 (aN) тооны хувьд a-0=a (aN) тооны хувьд 0:a=0 0+0=0; 0-0=0; 00=0; a-a=0 байна.
Сөрөг биш бүхэл тооны хасах ба хуваах үйлдэл натурал тооных шиг тодорхойлогддог.
Теорем 28. Тоог 0-д хувааж болохгүй.
Баталгаа. Сөрөг биш бүхэл а ба b=0 тоонууд өгөгдсөн байг. a0 байх тохиолдлыг авч үзье. a:b ногдвор оршин байдаг гэж үзье.Хуваах үйлдлийн тодорхойлолт ѐсоор a=c0 байх сөрөг биш бүхэл тоо олддог гэдгээс a=0 байна. Энэ нь a0 гэж авсанд харшилж байгаа тул a0 ба b=0 байхад ногдвор оршихгүй нь. a=0 байг. a=0 ба b=0 байхад тэдгээрийн ногдвор болох 0=0c байх с сөрөг биш бүхэл тоо олдоно. Дурын с тооны хувьд 0c=0 тэнцэл ямагт үнэн байна. Ногдвор a=0 ба b=0 байхад дурын сөрөг биш
бүхэл тоо байж болох бөгөөд тэрээр цор ганц биш байх юм. Тийм учраас математикт тэгийг тэгд хуваах боломжгүй гэж үздэг.
Сөрөг биш бүхэл тоон олонлог дээр хуваах үйлдлийг бүхлээр хуваах тохиолдлыг авч үздэг. Гэвч тийм ногдвор ямагт оршин байдаггүй. Жишээ нь 31-г 9-д бүхлээр хувааж болохгүй. 31=93+4 байна. Энэ үед 31-г 9-д хуваахад 4 үлдэгдэлтэй 3 гэсэн гүйцэд биш ногдвор гарч байна гэж ярьдаг. Ерөнхий тохиолдолд үлдэгдэлтэй хуваахыг дараах байдлаар тодорхойлж болно.
Тодорхойлолт: a сөрөг биш бүхэл тоо, b натурал тоо байг. а-г b-д үлдэгдэлтэй хуваах гэдэг нь a=bq+r (0ra. Ийнхүү bqabq+b байх q тоо олдлоо.
Хэрэв a-bq= r гэж тэмдэглэвэл a=bq+r ба 0rr1) байсан гэе. bq+r=bq1+r1 байх ба r- r1 = bq1-bq=b(q1-q). Эндээс 0r1 kM. Аксиом 4 ѐсоор М=N байна. Ө.х А(n) өгүүлбэр дурын натурал n-ын хувьд үнэн байна.
Энэ теорем дээр үндэслэсэн баталгааны аргыг математик индукцийн арга гэх бөгөөд хоѐр хэсгээс тогтоно.
1) n=1 байхад А(n) өгүүлбэр үнэн ө.х А(1) хэллэг үнэн болохыг батлах
2) А(n) өгүүлбэрийг n=k байхад үнэн гэж үзээд n=k+1 үед А(n) үнэн байна гэж батлах.Ө.х A(k)=> A(k+1). Хэрэв А(1)A(k)=>A(k+1) хэллэг үнэн байвал А(n) өгүүлбэр дурын натурал n тооны хувьд үнэн байна.
Математик индукцийн аргаар батлахдаа заавал n=1 байхаас эхлэх албагүй. mn байх дурын натурал m тооны хувьд А(n) өгүүлбэр үнэн байгаа эсэхийг шалгаж эхэлж болно. Математик индукцийн аргыг хэрэглэсэн жишээнүүдийг авч үзье.